【数据结构与算法学习笔记十五】最小生成树—Prim算法和Kruskal算法

Prim算法

1.概览

普里姆算法Prim算法),图论中的一种算法,可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中,不但包括了连通图里的所有顶点英语Vertex (graph theory)),且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克(英语:Vojtěch Jarník)发现;并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆(英语:Robert C. Prim)独立发现;1959年,艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此,在某些场合,普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆-亚尔尼克算法。

 

2.算法简单描述

1).输入:一个加权连通图,其中顶点集合为V,边集合为E;

2).初始化:Vnew = {x},其中x为集合V中的任一节点(起始点),Enew = {},为空;

3).重复下列操作,直到Vnew = V:

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>,其中u为集合Vnew中的元素,而v不在Vnew集合当中,并且v∈V(如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边,则可任意选取其中之一);

b.将v加入集合Vnew中,将<u, v>边加入集合Enew中;

4).输出:使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。

示例图演示:

 

下面对算法的图例描述:

图例 说明 不可选 可选 已选(Vnew
此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。
顶点D被任意选为起始点。顶点ABEF通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点,因此将A及对应边AD以高亮表示。 C, G A, B, E, F D
下一个顶点为距离DA最近的顶点。BD为9,距A为7,E为15,F为6。因此,FDA最近,因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。 C, G B, E, F A, D
算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。 C B, E, G A, D, F
在当前情况下,可以在CEG间进行选择。CB为8,EB为7,GF为11。E最近,因此将顶点E与相应边BE高亮表示。 C, E, G A, D, F, B
这里,可供选择的顶点只有CGCE为5,GE为9,故选取C,并与边EC一同高亮表示。 C, G A, D, F, B, E
顶点G是唯一剩下的顶点,它距F为11,距E为9,E最近,故高亮表示G及相应边EG G A, D, F, B, E, C
现在,所有顶点均已被选取,图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中,最小生成树的权值之和为39。 A, D, F, B, E, C, G

 

3.简单证明prim算法

反证法:假设prim生成的不是最小生成树

1).设prim生成的树为G0

2).假设存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0)   则在Gmin中存在<u,v>不属于G0

3).将<u,v>加入G0中可得一个环,且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈Gmin)

4).这与prim每次生成最短边矛盾

5).故假设不成立,命题得证.

 

Kruskal算法

1.概览

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法,由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是,Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

 

2.算法简单描述

1).记Graph中有v个顶点,e个边

2).新建图Graphnew,Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点,但没有边

3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序

4).循环:从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中

if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中

添加这条边到图Graphnew

示例图演示:

 

图例描述:

首先第一步,我们有一张图Graph,有若干点和边

 

将所有的边的长度排序,用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序,对局部最优的资源进行选择,排序完成后,我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图

 

在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5

依次类推我们找到了6,7,7,即DF,AB,BE。

下面继续选择, BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了(对于BC可以通过CE,EB来连接,类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连)。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了(这里上图的连通线用红色表示了)。

最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是右:

 

3.简单证明Kruskal算法

对图的顶点数n做归纳,证明Kruskal算法对任意n阶图适用。

归纳基础:

n=1,显然能够找到最小生成树。

归纳过程:

假设Kruskal算法对n≤k阶图适用,那么,在k+1阶图G中,我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作,即把u与v合为一个点v’,把原来接在u和v的边都接到v’上去,这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边),G’最小生成树T’可以用Kruskal算法得到。

我们证明T’+{<u,v>}是G的最小生成树。

用反证法,如果T’+{<u,v>}不是最小生成树,最小生成树是T,即W(T)<W(T’+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>,否则,可以用<u,v>加入到T中,形成一个环,删除环上原有的任意一条边,形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>},是G’的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T’),也就是W(T)<=W(T’)+W(<u,v>)=W(T’+{<u,v>}),产生了矛盾。于是假设不成立,T’+{<u,v>}是G的最小生成树,Kruskal算法对k+1阶图也适用。

由数学归纳法,Kruskal算法得证。

 

下面使用java程序演示Prim算法:

代码如下:

package com.itheima.primer;

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;

/**
* 最小生成树(普里姆算法(Prim算法))
* @author zhangming
* @date 2016/04/20
*/
public class MinTreePrimer {
private static List<Vertex> visitedVertexs,leftedVertexs; //分别为添加到集合U中的节点集和剩余的集合V中的节点集
private static List<Edge> searchEdges;

//初始化图的信息
public static void initGraph(Graph g){
visitedVertexs = new ArrayList<Vertex>();
leftedVertexs = new ArrayList<Vertex>();
searchEdges = new ArrayList<Edge>();

Scanner sc = new Scanner(System.in);
System.out.print(“输入顶点数: “);
int vertexNumber = sc.nextInt();
System.out.print(“请输入边数: “);
int edgeNumber = sc.nextInt();
String[] allVertex = new String[vertexNumber];
String[] allEdge = new String[edgeNumber];

System.out.println(“=================================”);
System.out.println(“请输入各个顶点:”);
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
for(int i=0;i<vertexNumber;i++){
System.out.print(“顶点”+(i+1)+”:”);
allVertex[i] = scanner.nextLine();
}
System.out.println(“=================================”);
for(int i=0;i<edgeNumber;i++){
System.out.print(“输入边(Vi,Vj)中的顶点名称和权值W(如:A B 7): “);
allEdge[i] = scanner.nextLine();
}

g.vertex = new Vertex[allVertex.length];
g.edge = new Edge[allEdge.length];
g.minWeight = 0;

for(int i=0;i<allVertex.length;i++){
g.vertex[i] = new Vertex();
g.vertex[i].vName = allVertex[i];
leftedVertexs.add(g.vertex[i]); //初始化剩余点集合
}

for(int i=0;i<allEdge.length;i++){
g.edge[i] = new Edge();
g.edge[i].startVertex = new Vertex();
g.edge[i].endVertex = new Vertex();

String edgeInfo[] = allEdge[i].split(” “);
g.edge[i].startVertex.vName = edgeInfo[0];
g.edge[i].endVertex.vName = edgeInfo[1];
g.edge[i].weight = Integer.parseInt(edgeInfo[2]);
}
}

public static void onChangeVertex(Vertex vertex){
visitedVertexs.add(vertex); //添加初始节点,作为默认的开始节点
leftedVertexs.remove(vertex);
}

public static Vertex findOneVertex(Graph g){
int minValue = Integer.MAX_VALUE;
Vertex findVertex = new Vertex();
Edge findEdge = new Edge();

for(int i=0;i<visitedVertexs.size();i++){
for(int j=0;j<leftedVertexs.size();j++){
Vertex v1 = visitedVertexs.get(i);
Vertex v2 = leftedVertexs.get(j); //获取两个顶点的名称

for(int k=0;k<g.edge.length;k++){
String startName = g.edge[k].startVertex.vName;
String endName = g.edge[k].endVertex.vName;

if((v1.vName.equals(startName) && v2.vName.equals(endName))
||(v1.vName.equals(endName) && v2.vName.equals(startName))){
if(g.edge[k].weight < minValue){
findEdge = g.edge[k];
minValue = g.edge[k].weight;
if(leftedVertexs.contains(v1)){ //会调用对象的equals方法比较对象,需重写equals方法
findVertex = v1;
}else if(leftedVertexs.contains(v2)){
findVertex = v2;
}
}
}
}
}
}
g.minWeight+= minValue;
searchEdges.add(findEdge);

return findVertex;
}

public static void prim(Graph g){
while(leftedVertexs.size()>0){ //直到剩余节点集为空时结束循环
Vertex findVertex = findOneVertex(g);
onChangeVertex(findVertex);
}
System.out.print(“\n最短路径包含的边: “);
for(int i=0;i<searchEdges.size();i++){
System.out.print(“(“+searchEdges.get(i).startVertex.vName+”,”+searchEdges.get(i).endVertex.vName+”)”+” “);
}
System.out.println(“\n最短路径长度: “+g.minWeight);
}

public static void main(String[] args) {
Graph g = new Graph();
initGraph(g);
onChangeVertex(g.vertex[0]);
prim(g);
}
}

/**
* 顶点类Vertex
*/
class Vertex{
String vName; //顶点的名称

@Override
public boolean equals(Object obj) {
if(obj instanceof Vertex){
Vertex vertex = (Vertex)obj;
return this.vName.equals(vertex.vName);
}
return super.equals(obj);
}
}

/**
* 边类Edge
*/
class Edge{
Vertex startVertex;
Vertex endVertex;
int weight;
}

/**
* 图的存储结构
*/
class Graph{
Vertex[] vertex; //顶点集
Edge[] edge; //边集
int minWeight; //最短路径
}

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注