【数据结构与算法学习笔记五】二叉树

二叉树是树的特殊一种,具有如下特点:1、每个结点最多有两颗子树,结点的度最大为2。2、左子树和右子树是有顺序的,次序不能颠倒。3、即使某结点只有一个子树,也要区分左右子树。

一、特殊的二叉树及特点

 

1、斜树

所有的结点都只有左子树(左斜树),或者只有右子树(右斜树)。这就是斜树,应用较少

2、满二叉树

所有的分支结点都存在左子树和右子树,并且所有的叶子结点都在同一层上,这样就是满二叉树。就是完美圆满的意思,关键在于树的平衡。

根据满二叉树的定义,得到其特点为:

  1. 叶子只能出现在最下一层。
  2. 非叶子结点度一定是2.
  3. 在同样深度的二叉树中,满二叉树的结点个数最多,叶子树最多。

3、完全二叉树

对一棵具有n个结点的二叉树按层序排号,如果编号为i的结点与同样深度的满二叉树编号为i结点在二叉树中位置完全相同,就是完全二叉树。满二叉树必须是完全二叉树,反过来不一定成立。

其中关键点是按层序编号,然后对应查找。

 

在上图中,树1,按层次编号5结点没有左子树,有右子树,10结点缺失。树2由于3结点没有字数,是的6,7位置空挡了。树3中结点5没有子树。

上图就是一个完全二叉树。

结合完全二叉树定义得到其特点:

  1. 叶子结点只能出现在最下一层(满二叉树继承而来)
  2. 最下层叶子结点一定集中在左 部连续位置。
  3. 倒数第二层,如有叶子节点,一定出现在右部连续位置。
  4. 同样结点树的二叉树,完全二叉树的深度最小(满二叉树也是对的)。

根据下图加深理解,什么时候是完全二叉树。

三、二叉树性质

1、一般二叉树性质

1、在非空二叉树的i层上,至多有2i-1个节点(i>=1)。通过归纳法论证。

2、在深度为K的二叉树上最多有2k-1个结点(k>=1)。通过归纳法论证。

3、对于任何一棵非空的二叉树,如果叶节点个数为n0,度数为2的节点个数为n2,则有: n0 = n2 + 1

在一棵二叉树中,除了叶子结点(度为0)之外,就剩下度为2(n2)和1(n1)的结点了。则树的结点总数为T = n0+n1+n2;在二叉树中结点总数为T,而连线数为T-1.所以有:n0+n1+n2-1 = 2*n2 +n1;最后得到n0 = n2+1;

QQ截图20150818171417

上图中结点总数是10,n2为4,n1为1,n0为5。

2、完全二叉树性质

a、具有n的结点的完全二叉树的深度为log2n+1.

满二叉树是完全二叉树,对于深度为k的满二叉树中结点数量是2k-1 = n,完全二叉树结点数量肯定最多2k-1,同时完全二叉树倒数第二层肯定是满的(倒数第一层有结点,那么倒是第二层序号和满二叉树相同),所以完全二叉树的结点数最少大于少一层的满二叉树,为2k-1-1。

根据上面推断得出: 2k-1-1< n=<2k-1,因为结点数Nn为整数那么n<=2k-1可以推出n<=2,n>2k-1-1可以推出 n>=2k-1,所以2k-1<n<=2k  。即可得k-1<=log2n<k 而k作为整数因此k=[log2n]+1。

b、如果有一颗有n个节点的完全二叉树的节点按层次序编号,对任一层的节点i(1<=i<=n)有

1.如果i=1,则节点是二叉树的根,无双亲,如果i>1,则其双亲节点为[i/2],向下取整

2.如果2i>n那么节点i没有左孩子,否则其左孩子为2i

3.如果2i+1>n那么节点没有右孩子,否则右孩子为2i+1

QQ截图20150818173731

在上图中验证

第一条:

当i=1时,为根节点。当i>1时,比如结点为7,他的双亲就是7/2= 3;结点9双亲为4.

第二条:

结点6,6*2 = 12>10,所以结点6无左孩子,是叶子结点。结点5,5*2 = 10,左孩子是10,结点4,为8.

第三条:

结点5,2*5+1>10,没有右孩子,结点4,则有右孩子。

四、二叉树遍历

二叉树遍历:从树的根节点出发,按照某种次序依次访问二叉树中所有的结点,使得每个结点被访问仅且一次。

这里有两个关键词:访问次序。

1、前序遍历

基本思想:先访问根结点,再先序遍历左子树,最后再先序遍历右子树即根—左—右

图中前序遍历结果是:1,2,4,5,7,8,3,6。

a/前序递归遍历的代码实现,如下所示

//前序递归遍历
void PreOrderTraverse(BiTree t)
{
//注意跳出条件
if(t != NULL)
{
//注意访问语句顺序
printf(“%c “, t->data);
PreOrderTraverse(t->lchild);
PreOrderTraverse(t->rchild);
}
}

前序非递归遍历:

对于任一结点p:

a. 访问结点p,并将结点p入栈;

b. 判断结点p的左孩子是否为空,若为空,则取栈顶结点并进行出栈操作,并将栈顶结点的右孩子置为当前的结点p,循环置a;若不为空,则将p的左孩子置为当前结点p;

c. 直到p为空,并且栈为空,则遍历结束。

//前序非递归遍历
int NoPreOrderTraverse(BiTree t)
{
SqStack s;
InitStack(&s);

BiTree tmp = t;
if(tmp == NULL)
{
fprintf(stdout, “the tree is null.\n”);
return ERROR;
}
//现将左子树压入栈,当到叶子结点后,出栈,获取右子树,然后在压入右子树的左子树。
//顺序不能变
while((tmp != NULL) || (IsEmpty(&s) != 1))
{
while(tmp != NULL)
{
Push(&s, tmp);
printf(“%c “, tmp->data);
tmp = tmp->lchild;
}
if(IsEmpty(&s) != 1)
{
Pop(&s, &tmp);
tmp = tmp->rchild;
}
}

return OK;
}

2、中序遍历

基本思想:先中序遍历左子树,然后再访问根结点,最后再中序遍历右子树即左—根—右。

图中中序遍历结果是:4,2,7,8,5,1,3,6。

中序遍历迭代代码

//中序递归遍历
void InOrderTraverse(BiTree t)
{
if(t != NULL)
{
InOrderTraverse(t->lchild);
printf(“%c “, t->data);
InOrderTraverse(t->rchild);
}
}

2)中序非递归遍历

根据中序遍历的顺序,对于任一结点,优先访问其左孩子,而左孩子结点又可以看做一个根结点,然后继续访问其左孩子结点,直到遇到左孩子结点为空的结点才停止访问,然后按相同的规则访问其右子树。其处理过程如下:

对于任一结点:

a. 若其左孩子不为空,则将p入栈,并将p的左孩子设置为当前的p,然后对当前结点再进行相同的操作;

b. 若其左孩子为空,则取栈顶元素并进行出栈操作,访问该栈顶结点,然后将当前的p置为栈顶结点的右孩子;

c. 直到p为空并且栈为空,则遍历结束。

//中序非递归遍历二叉树
int NoInOrderTraverse(BiTree t)
{
SqStack s;
InitStack(&s);

BiTree tmp = t;
if(tmp == NULL)
{
fprintf(stderr, “the tree is null.\n”);
return ERROR;
}

while(tmp != NULL || (IsEmpty(&s) != 1))
{
while(tmp != NULL)
{
Push(&s, tmp);
tmp = tmp->lchild;
}

if(IsEmpty(&s) != 1)
{
Pop(&s, &tmp);
printf(“%c “, tmp->data);
tmp = tmp->rchild;
}
}
return OK;
}

3、后序遍历

 

基本思想:先后序遍历左子树,然后再后序遍历右子树,最后再访问根结点即左—右—根。

图中后序遍历结果是:4,8,7,5,2,6,3,1。

后序递归遍历代码实现,如下所示。

//后序递归遍历
void PostOrderTraverse(BiTree t)
{
if(t != NULL)
{
PostOrderTraverse(t->lchild);
PostOrderTraverse(t->rchild);
printf(“%c “, t->data);
}
}

后序遍历的非递归实现是三种遍历方式中最难的一种。因为在后序遍历中,要保证左孩子和右孩子都已被访问,并且左孩子在右孩子之前访问才能访问根结点,这就为流程控制带来了难题。下面介绍一种思路。

要保证根结点在左孩子和右孩子访问之后才能访问,因此对于任一结点p,先将其入栈。若p不存在左孩子和右孩子,则可以直接访问它,或者p存在左孩子或右孩子,但是其左孩子和右孩子都已经被访问过了,则同样可以直接访问该结点。若非上述两种情况,则将p的右孩子和左孩子依次入栈,这样就保证了每次取栈顶元素的时候,左孩子在右孩子之前别访问,左孩子和右孩子都在根结点前面被访问。

//后序非递归遍历二叉树
int NoPostOrderTraverse(BiTree t)
{
SqStack s;
InitStack(&s);

BiTree cur; //当前结点
BiTree pre = NULL; //前一次访问的结点
BiTree tmp;

if(t == NULL)
{
fprintf(stderr, “the tree is null.\n”);
return ERROR;
}

Push(&s, t);
while(IsEmpty(&s) != 1)
{
GetTop(&s, &cur);//
if((cur->lchild == NULL && cur->rchild == NULL) || (pre != NULL && (pre == cur->lchild || pre == cur->rchild)))
{
printf(“%c “, cur->data); //如果当前结点没有孩子结点或者孩子结点都已被访问过
Pop(&s, &tmp);
pre = cur;
}
else
{
if(cur->rchild != NULL)
{
Push(&s, cur->rchild);
}
if(cur->lchild != NULL)
{
Push(&s, cur->lchild);
}
}
}
return OK;
}

五、二叉树的建立

其实而二叉树的建立就是二叉树的遍历,只不过将输入内容改为建立结点而已,比如,利用前序遍历建立二叉树

//创建树
//按先后次序输入二叉树中结点的值(一个字符),#表示空树
//构造二叉链表表示的二叉树
BiTree CreateTree(BiTree t)
{
char ch;
scanf(“%c”, &ch);

if(ch == ‘#’)
{
t = NULL;
}
else
{
t = (BitNode *)malloc(sizeof(BitNode));
if(t == NULL)
{
fprintf(stderr, “malloc() error in CreateTree.\n”);
return;
}

t->data = ch; //生成根结点
t->lchild = CreateTree(t->lchild); //构造左子树
t->rchild = CreateTree(t->rchild); //构造右子树
}
return t;
}

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